Taglia a pezzetti i carciofi, in una padella dai bordi alti scalda l'olio assieme all'aglio tritato (sbucciato e privato di anima), unisci i carciofi e lascia cuocere per 25 minuti, aggiustando di sale e pepe e aggiungendo acqua bollente quando necessario.
Nel frattempo prepara la besciamella: scalda insieme il latte e l'acqua mescolando.
In una pentola dal fondo spesso poni l'olio, aggiungi la farina e mescola per creare una crema priva di grumi, il roux.
Stemperalo con poco latte mescolato all'acqua, aggiungi a filo il restante liquido, continuando a mescolare per non creare grumi e poni sul fuoco ad addensare, mescolando ancora con la frusta fino a quando avrete ottenuto una crema liscia.
Prepara ora la lasagna. Se le sfoglie di lasagne necessitano la cottura, scottale in acqua bollente per il tempo riportato sulla confezione, altrimenti passa alla preparazione della lasagna.
Accendi il forno a 200°. Tagliate a pezzetti il prosciutto cotto e la mozzarella.
Spargi un cucchiaio di besciamella sul fondo di una pirofila, adagi le sfoglie di pasta all'uovo, in modo che coprano il fondo, copri con qualche cucchiaiata di carciofi, besciamella, mozzarella, prosciutto cotto e infine una spolverata di parmigiano.
Sovrapponi altri strati di pasta fresca e ripeti l'operazione fino a completare tutti gli ingredienti.
Inforna per circa 15-20 minuti o fino a quando la lasagna sarà ben dorata.